   Ik ben leraar natuurkunde, drs. en eerstegraads bevoegd en geef bijles wis- en natuurkunde, met uitzondering van kansberekening en statistiek. De bijles kost €27,50 voor 60 minuten. Ik geef de lessen bij mij thuis, Jan van Houtkade 26A, Leiden, telefoon+antwap: 071 5142099. Voor de natuurkunde werk ik met een zelfgeschreven boek voor bovenbouw Havo, waarin de stof veel overzichtelijker wordt gebracht dan in de gebruikelijke schoolboeken. Zo zijn alle definities en wetten genummerd. Je hoeft ook niet zelf de wetten en regels uit lange verhalen en voorbeelden te halen, die wetten en regels staan duidelijk en rechttoe-rechtaan omschreven en dan pas komen de voorbeelden. Voor alle vraagstukken krijg je de volledige uitwerking erbij, dus niet alleen de antwoorden. Bovendien staan vaak de wetten en definities die je moet toepassen met hun nummer vermeld in de uitwerking. Hierdoor is het bekende probleem opgeheven van de examenbundels, dat je de uitwerking na lezing nog steeds niet begrijpt omdat je de toegepaste definities en wetten niet herkent of niet kan terugvinden in je leerboek.
   Ik heb dit boek vooral ook geschreven, omdat ik de gangbare schoolboeken vaak erg onduidelijk vond in hun uitleg. Ik merkte dat pas goed toen ik ging lesgeven; ieder jaar weer zie je veel leerlingen dezelfde fouten maken. Vaak zitten daar leerlingen bij, die helemaal niet slecht zijn. Dan ligt de fout dus bij de boeken.
   In mijn boek behandel ik een paar paradoxen. Paradoxen zijn experimenten die je in gedachten uitvoert en waarbij je langs twee verschillende wegen redenerend twee verschillende uitkomsten van je experiment krijgt. Dan is tenminste een van de redeneringen natuurlijk fout. De kunst is dan de fout in je eigen redenering te vinden.
   Ik heb geen overeenkomstig boek voor het Vwo (niet aan toegekomen), maar voor driekwart van de Vwo-bovenbouw-stof is mijn boek heel goed bruikbaar.

Mijn boek is via de post te koop, ook per hoofdstuk. Het is een aantal jaren geleden geschreven maar het meeste is nog up to date. De reden dat het niet helemaal up to date is, is dat ze de lesstof de laatse jaren zo vaak veranderd hebben, dat het voor een enkele schrijver niet is bij te houden. Je moet dan met een grotere groep schrijvers gaan werken en dan krijg je altijd een compromis, dus weer zo'n boek waarvan er dertien in een dozijn gaan. Mijn boek heeft iets wat geen enkel ander boek heeft; voor ieder hoofdstuk een lijst met veelgemaakte fouten. Verder zitten er veel sommen in, die regelmatig op het examen en ook op toetsen gevraagd worden.

(=bewegingsleer, gaat over de plaats van een bewegend voorwerp als funktie van de tijd, over zijn snelheid, over zijn versnelling en over de bijbehorende diagrammen). Dit hoofdstuk maakt niet de fout een aantal formules te kortwieken, zoals het ministerie met de invoering van de Vernieuwde Tweede Fase gedaan heeft. De bedoeling was de hoeveelheid leerstof te beperken, het resultaat waren formules waarmee veel sommen voor een beginner niet op te lossen zijn. Dit hoofdstuk is prima geschikt voor Havo en Vwo.

(=krachtenleer). Ik behandel hier de formules in een soort tabel, die glashelder maakt hoe je ze moet toepassen. Geen enkel ander boek doet dat zo. Vooral voor de kracht bij de cirkelbeweging, de zogenaamde middelpuntzoekende kracht, is dit erg verhelderend. Voor het Havo is de middelpuntzoekende kracht geschrapt, dus zul je niet krijgen op je toetsen of eindexamen. Het Vwo moet hem wel kennen. Als je als havist even tijd over hebt, leer hem dan wel. Hij stelde Newton namelijk in staat om uit de derde wet van Kepler (zoek maar op op http://nl.wikipedia.org/wiki/Wetten_van_Kepler) de zwaartekrachtwet op te stellen en aan te tonen, dat alle planeten volgens die wet om de zon draaien. Daarmee was voor het eerst aangetoond, dat natuurkundige wetten niet alleen op aarde maar ook in de rest van het heelal gevonden kunnen worden. Daarmee groeide de natuurkunde uit zijn kinderschoenen. En verder kun je met die middelpuntzoekende kracht aantonen, dat een raceauto aan de binnenkant van de bocht in het voordeel is ten opzichte van de buitenkant van de bocht (logisch want de weg is korter? Ja, maar de bocht is ook scherper en dat beperkt weer je snelheid).

Geometrische optika (=beschrijving van het gedrag van licht waarbij de delen van een lichtstraal als rechte lijnstukken worden benaderd) Redelijk geschikt voor Havo en Vwo. Wel behandel ik hierin spiegels en die staan niet in de eindexamenprogramma's, niet van Havo en niet van Vwo. Kosten: 11- euro.

Gaswetten (=hoe neemt de druk van een gas toe als je het samenperst en/of verhit). Niet voor Havo, wel voor Vwo. Kosten: €10-

Wet van Ohm (de kennis van stromende elektriciteit). Geschikt voor Havo en Vwo. Omdat velen zich moeilijk kunnen voorstellen wat nu eigenlijk een aantal volts is, een aantal ampères is, een aantal ohms is, geef ik hier een soort bouwplaatjes bij, waarbij je met stroken gekleurd papier, schaar en lijm een model in elkaar zet, dat die drie dingen aanschouwlijk maakt. Ik waarschuw in dit hoofdstuk tegen een bepaalde, heel veel gemaakte fout, waar geen enkel ander boek tegen waarschuwt. Ik wijs op een tweede fout die bijna alle andere boeken maken (ze beweren dat een batterij een pomp is, die de elektronen "rondpompt". Dat is niet zo, het zijn niet dezelfde elektronen die telkens rondgaan. Bij een dynamo is dat wel zo). Ik wijs erop, dat elektrische stroom door een draad kruipt. De snelheid van de elektronen is hooguit een paar millimeter per seconde. Aan dit soort kennis kun je later veel hebben als je bijvoorbeeld elektrotechniek gaat doen. Kosten: €28-

Fysische informatika (kennis van de werking van computers). Helemaal geschikt voor Havo en Vwo. Kosten: €18-

Trillingen en golven. Redelijk geschikt voor Havo, geschikt voor Vwo. Het onderdeel over decibels (geluidssterkte dus) is vervallen als examenstof. Kosten: €24-

Elektrostatika (= de kennis van stilstaande elektriciteit). Redelijk geschikt voor Havo, geschikt voor Vwo. Kosten: €14-

Magnetisme. Ongeschikt voor Havo, geschikt voor Vwo. In extra paragrafen ga ik wat dieper op het onderwerp in. Je kunt die stof overslaan, hij staat tussen sterretjes, maar hij is erg de moeite waard. Maar heel weinig mensen begrijpen magnetisme goed. In dit hoofdstuk zitten ook weer een paar paradoxen. Ik noem er een; op een elektron dat in een magneetveld beweegt, werkt de lorentzkracht. Die kracht staat loodrecht op de baan van het elektron en verricht dus geen arbeid. Een elektromotor verricht arbeid doordat de er in stromende elektronen in een magneetveld een lorentzkracht ondervinden. Hoe is dit met elkaar te rijmen? Kosten: €37-

Dan zijn er nog twee hoofdstukken, waarvan de stof bijna helemaal geschrapt is uit de eindexamenstof van Havo en Vwo, maar waar je veel aan zult hebben als je na je school iets met natuurkunde gaat doen, aan de universiteit of op de HTS bijvoorbeeld;

Kernfysika. Hadden ze ook niet moeten schrappen. Ik behandel hierin vooral de rol van massa bij kernenergie heel goed; de bouwstenen van de atoomkern, protonen en neutronen, zijn lichter als ze bij elkaar in de kern zitten, dan wanneer ze in hun eentje buiten de kern zijn. Uit dit massaverschil kunnen we energie winnen, die massa wordt namelijk in bepaalde omstandigheden "omgezet" in energie. Dat woord "omzetten" staat in dit verband in alle boeken, maar het is echt fout. Het lijkt dan net, of die massa verdwijnt. Dat is niet zo. De vrijkomende energie heeft weer precies dezelfde massa als die massa die verdwenen lijkt. Energie heeft namelijk ook massa. Het punt is, dat er twee verschillende soorten massa in de natuurkunde zijn, de rustmassa en de relativistische massa. Alle boeken kijken alleen naar de rustmassa. Maar je kunt veel beter naar de relativistische massa kijken, want die lijkt veel meer op de oude vertrouwde massa uit de klassieke natuurkunde. Dan wordt de wet van Lavoisier (uit de scheikunde), dat er bij reakties geen massa verloren gaat of bijkomt, weer in ere hersteld. Dit verhaal over massa staat niet in dit hoofdstuk, omdat ik bang was dat leerlingen het op hun examen zouden gaan schrijven en dat wordt dan geheid fout gerekend. Ik hoop het hele betoog binnenkort wel op Internet te zetten. Er staat in dit hoofdstuk ook nog een gloedvol betoog van een professor Fast tegen kernenergie. Dat is natuurlijk erg belangrijk in deze tijd, nu politici beginnen te roepen dat we de ene milieuramp moeten gaan vervangen door een andere. Kosten: €30-

Binnenkort start ik met tentamentraining voor lineaire algebra 1 voor natuur- en sterrenkunde. De training houdt in dat een aantal oude tentamens wordt uitgewerkt. Vooraf krijg je de tentamens en hun uitwerkingen op fotokopie. De trainingen worden gehouden op de Witte Singel 69, Leiden. Ik breng de kopieerkosten in rekening en per uur ieder bedrag tussen nul en 5 euro, alnaargelang je draagkracht, achteraf over te maken op mijn bankrekening, die ik nog zal geven. Ik zal groepen vormen van maximaal 8 studenten. De vorige keer waren het er 4.

De bedoeling is van Witte Singel 69 een trefpunt te maken voor studenten wis- natuur- en sterrenkunde. Op enige gebieden van de natuurkunde heb ik wat kennis in huis, die je op college niet opdoet.

Ik weet bijvoorbeeld wat meer af van elektromagnetisme dan je in de colleges te horen krijgt, ik ken de historische ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie redelijk en ook die van het begin van de quantummechanica.

Ik kan uitleggen hoe de tweede hoofdwet van de thermodynamica gebruik maakt van "imperfekte differentialen" (thermodynamica is ontstaan uit de studie van hoe gassen arbeid kunnen verrichten). Dat is een misleidende naam voor gewone differentialen, die niet te herleiden zijn tot differentialen in partiële differentiaalvergelijkingen (ik heb overigens geen collegediktaat kunnen vinden, waarin de tweede hoofdwet op het moment op deze manier behandeld wordt, maar je moet die differentialen sowieso kennen om je het begrip entropie eigen te maken en de tweede hoofdwet te begrijpen). Over dit onderwerp heb ik een kant-en-klaar diktaat, waar ook een heel nuttige uitleg bij zit over het al dan niet afkoelen van gassen bij expansie. Dat wordt namelijk slecht behandeld op de middelbare school. Denk aan de proef met de CO₂-cylinder, waarbij de leraar zegt "gassen koelen af als ze uitzetten". Maar als je dezelfde proef doet met helium, wordt het warmer. De meerderheid van de leraren weet dat zelf geeneens. Op de middelbare wordt inwendige energie abusievelijk warmte genoemd. Veel leraren weten niet of de absolute temperatuur altijd evenredig is met de kinetische energie van de molekulen, of dat dat alleen bij een ideaal gas zo is. Op een MTS heb ik het heter worden van een gas door kompressie als volgt horen verklaren: "Kompressie betekent meer botsingen van de molekulen en dat betekent meer energie, dus het gas wordt heter". Het gedrag van gassen en het begrip warmte worden op de middelbare school zo slecht behandeld, dat natuurkunde-studenten daardoor vaak onnodig veel moeite hebben met thermodynamica.

Zo'n imperfekte differentiaal duikt op in de eerste hoofdwet van de thermodynamika, namelijk als een dQ, een imperfekte differentiaal die een hoeveelheid warmte voorstelt. Als je dan vraagt wat er imperfekt is aan die differentiaal, krijg je ongeveer zo'n antwoord als: "Het stelt alleen maar een kleine hoeveelheid voor" en "Het is geen toename van een grootheid, want er is geen totale hoeveelheid Q". De eerste bewering is zinloos, omdat er niet bij gezegd wordt wat onder klein wordt verstaan. De tweede bewering is onjuist. Je kunt wel degelijk een experiment opzetten met bijvoorbeeld een gas, zodanig dat je een totale hoeveelheid warmte kunt definiëren. Wat is er dan imperfekt aan een imperfekte differentiaal? Het is een probleem met differentiaalvergelijkingen met meer dan een onafhankelijke variabele; als je Q ziet als een funktie van de tijd, is er niets aan de hand, dan is hij gedefinieerd. Als je hem echter wilt zien als een funktie van meer dan een variable, bijvoorbeeld van de druk en het volume van het gas, dan blijkt dat niet te kunnen. Als je Q deelt door de absolute temperatuur blijk je een funktie te krijgen die wel als onafhankelijke variabelen de druk en het volume heeft. Deze funktie is de zogenaamde entropie en uiterst belangrijk in de natuur- en scheikunde. Hij geeft de mate van wanorde aan en die blijkt altijd toe te nemen. Hij is onder meer zo belangrijk, omdat hij een oud probleem oploste. Waarom verloopt een scheikundige reaktie in de ene richting en niet terug? "Hij verloopt in de richting waarin energie vrij komt", is korte tijd door scheikundigen beweerd. Totdat endotherme reakties ontdekt werden en het antwoord op de vraag weer open was. Totdat een natuurkundige aantoonde, dat reakties altijd verlopen in de richting van toenemende entropie. Een paar jaar hebben we op school de entropie moeten behandelen. Toen heb ik eigenlijk geen enkele leraar dat begrip goed zien hanteren. Vaak was hun onbegrip veroorzaakt door dat foute verhaal over imperfekte differentialen.

Verder heb ik een stuk geschreven, waarin ik duidelijk maak, dat in de relativiteitstheorie de verkeerde massa als "de" massa wordt beschouwd. Door die fout beweren alle leerboeken dat "massa kan worden omgezet in energie". Dat klinkt alsof er massa verdwijnt en dat bedoelen ze ook, soms zeggen ze het met zoveel woorden. Maar de energie die verschijnt heeft ook weer massa, precies zoveel als verdwenen lijkt te zijn. Daarmee is de wet van Lavoisier, over het behoud van massa voor tijdens en na iedere reactie, in ere hersteld. "Ja maar de rustmassa is zo belangrijk, omdat hij een invariant is (=hij verandert niet onder lorentztransformaties), dus een onveranderlijke eigenschap van bijvoorbeeld een elementair deeltje is", krijg ik vaak tegengeworpen. Dat ontken ik ook helemaal niet, maar de natuurkundigen die zeggen dat massa kan verdwijnen en daar energie voor in de plaats komt, kijken in feite naar de som van rustmassa's van een systeem en die is helemaal niet invariant.

De belangrijkste vergelijking in de quantummechanica is de Schrödingervergelijking. Maar geen enkele docent heeft me uit kunnen leggen hoe die is opgesteld. Ze toonden daar ook geen enkele nieuwsgierigheid naar. De overheersende mening is, dat je daar toch niet meer achter komt. Dat is niet zo. Voor een deel ben ik er wel achter gekomen.

Ik ken geen natuurkundigen die er blijk van gaven een juist beeld van complexe getallen te hebben. Op colleges heb ik meerdere keren horen zeggen, dat i de wortel uit –1 is (fout, de wortel uit –1 is +i of –i). Ik heb ook een leerboek waar deze fout in staat. Vervolgens werd er dan gezegd, dat een complex getal geen natuurkundige grootheid kan voorstellen (zie Quantum Mechanics van Merzbacher, derde editie, blz 6). Hoezo niet? Ik neem aan, dat ze in hun achterhoofd dan denken, "de wortel uit –1 bestaat niet, dus een complex getal is iets wat eigenlijk niet bestaat. Maar als ik dat zeg springen de wiskundigen me op de nek, dus zeg ik maar dat het geen natuurkundige grootheid kan voorstellen". Het lijkt een futiliteit, maar mij is op college verteld, dat je aan het feit dat de quantummechanische golffunktie complex is kunt zien, dat hij natuurkundig gezien niet bestaat en dus niet direkt meetbaar is. Ik zou geen manier weten om de golffunktie direkt te meten, maar het argument uit de vorige zin is in ieder geval fout. Ik kan precies uitleggen, waarom complexe getallen wel degelijk natuurkundige grootheden kunnen voorstellen.

Hiernaast zijn er veel dingen, die ik nooit of maar half begrepen heb, maar wel erg de moeite waard zijn. Vragen erover stellen aan anderen leerde me, dat zij die evenmin begrepen hadden. Met die anderen bedoel ik niet alleen studenten, maar ook docenten. Ik noem enkele voorbeelden.

In de quantummechanica van Schrödinger zit ook iets paradoxaals. De golflenge van de golffunktie moet je berekenen uit de snelheid van de deeltjes, maar Schrödinger maakt niet duidelijk ten opzichte waarvan je die snelheid moet meten. Volgens de Broglie, die die golflengte gevonden heeft uit de relativiteitstheorie, is het ten opzichte van de waarnemer. Maar dat kan niet. Neem een bundel neutronen met alle dezelfde snelheid. Laat hem op een tralie (een kristalrooster) vallen. Dan zou een waarnemer die meebeweegt met de bundel een ander buigingspatroon zien dan een waarnemer die stil staat t.o.v. het kristal. Neem dan de snelheid van de neutronen t.o.v. het kristal, zou je kunnen zeggen (of beter, t.o.v. hun gemeenschappelijk massamiddelpunt). Ja, maar stel je nu voor, dat je twee neutronenbundels recht op elkaar in stuurt en dat de ene bundel uit neutronen met twee verschillende snelheden bestaat. Hoe moet je dan je golffunktie opstellen? Ik weet het niet.

Boltzmann heeft de entropie uitgedrukt in zijn constante en de zogenaamde toestandssom W van een systeem: S = k log W. Ik heb dit nooit echt begrepen. Boltzmann heeft geprobeerd wiskundig aan te tonen, dat de entropie altijd toeneemt. Ene Loschmidt zou aangetoond hebben, dat dat niet kan, dat je dan altijd, vaak onbewust, uitgaat van een bepaalde klasse van begintoestanden en andere begintoestanden buiten beschouwing laat (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Reversibility_paradox). Ik had daar in ieder geval iets over willen horen bij thermodynamica.

Ik heb nooit begrepen hoe ze te weten zijn gekomen, dat een foton een intrinsiek impulsmoment heeft en wat je daarmee kunt doen. Een intrinsiek impulsmoment wil zeggen dat het objekt zich als een draaiende tol gedraagt, in tegenstelling tot een objekt met een niet-intrinsiek impulsmoment, dat is een objekt dat snelheid heeft t.o.v. een bepaald punt in de ruimte. Dan heeft hij een impulsmoment t.o.v dat punt (en dat impulsmoment is nul als de drager van de snelheid van het objekt toevallig door dat punt gaat). Ik ben daar zo nieuwsgierig naar, omdat dit volgens mij wel eens technische toepassingen zou kunnen hebben. Als een atoom een foton uitzendt, gaat de verandering van baanimpulsmoment van het verspringende elektron dan in het intrinsieke impulsmoment van het foton zitten? "Lijkt me logisch". Wacht even. Het kan ook nog in het niet-intrinsieke impulsmoment gaan zitten.

Ik heb vaak gevraagd, of dat intrinsiek impulsmoment op hetzelfde neerkomt als cirkulair gepolariseerd-zijn. "Ja . . . , nee, . . . .wacht even, . . . ja, ik denk van wel", was de ongeveer gelijkluidende reaktie van een aantal natuurkundigen, een paar Nederlandse en een Russische. Als het ja is, heb ik een probleem met een boekje, dat het theorema van Bell uit probeert te leggen en daarin doet, alsof fotonen lineair gepolariseerd zijn (het theorema van Bell gaat over een paradox opgesteld door o.a. Einstein, die daarmee wil laten zien, dat de quantummechanica onvolledig is).

De breking van licht door glas verklaarde Huygens door aan te nemen, dat licht een golf is en langzamer gaat in glas dan in lucht, met de brekingsindex als verhoudingsgetal tussen de twee snelheden. Newton verklaarde het door aan te nemen, dat licht uit deeltjes bestaat, die juist sneller in glas gaan dan in lucht met het omgekeerde van de brekingsindex als verhoudingsgetal tussen de snelheden. Die zienswijzen zijn gelijkwaardig, is me in een college quantummechanica verteld. Dan zouden fotonen in glas sneller moeten gaan dan in lucht (wat beslist niet waar is).

Wat dit alles betreft zou het universitaire natuurkunde-onderwijs beter moeten worden. Ik wil dus proberen het natuurkunde-onderwijs beter te krijgen.